Простые алгебраические группы над полем K являются аналогами в алгебраической геометрии простых групп Ли в геометрии дифференциальной. Будучи подмногообразием аффинного пространства, простая алгебраическая группа G задается системой полиномиальных уравнений от нескольких переменных, и множество решений G(L) этой системы уравнений в произвольном расширении L поля K является группой в обычном смысле и называется группой L-точек алгебраической группы G. Группа G(L), вообще говоря, не является простой, однако, если G изотропна (условие, соответствующее не-компактности для простых групп Ли), то по теореме Ж. Титса (1964) она содержит <<большую>> нормальную подгруппу EG(L), которая проективно проста. В. П. Платонов (1975) привел первый пример, показывающий, что фактор-группа G(L)/EG(L) может быть нетривиальной, и в настоящее время проблема ее вычисления называется проблемой Кнезера — Титса. Мы обсудим некоторые результаты по этой проблеме и ее обобщения.

Деметрий Фалерей, основатель Александрийской библиотеки, провел перепись населения в Афинах в конце IV в. до Р. Х. В математических задачах демографии рождается теория точечных процессов на прямой — последовательностей неразличимых событий, происходящих в случайные моменты времени. В 1915 г. работа
Р. Фишера [1] открыла новую главу теории точечных процессов — изучение собственных чисел матриц, задаваемых случаем.

Синус-процесс Дайсона [2] — скейлинговый предел радиальных частей мер Хаара на унитарных группах растущей размерности. Корреляционные функции синус-процесса задаются детерминантами синус-ядра — ядра проектора на пространство Пэли — Винера. Точечные процессы, чьи корреляционные функции задаются детерминантами, с одной стороны, возникают в самых разных конкретных задачах — асимптотической комбинаторики, теории представлений бесконечномерных групп, теории гауссовских аналитических функций — а, с другой, допускают богатую общую теорию.

В совместной работе с Янци Цью (Тулуза, Пекин) и А. Шамовым (Харьков, Реховот) доказано, что реализация детермиантного точечного процесса почти наверное есть множество единственности для гильбертова пространства, образа нашего проектора.

Минимально ли это множество единственности? Оказывается — нет: почти наверное реализация синус-процесса имеет избыток 1 для пространства Пэли — Винера, то есть, становится полным и минимальным множеством после удаления одной частицы. Дело в том, что случайные целые функции, обобщённые произведения Эйлера, сопоставляемые синус-процессу, сходятся при скейлинге по распределению к восходящему, на физическом уровне строгости, к работам А. Н. Колмогорова и его школы по теории однородной изотропной турбулентности гауссову мультипликативному хаосу.

Доказательство сходимости к гауссову мультипликативному хаосу опирается на квази-инвариантность синус-процесса под действием диффеоморфизмов прямой с компактным носителем, а также на оценки остаточного члена в скейлинговом пределе формулы Бородина — Окунькова — Джеронимо — Кейса, обобщающей Сильную Теорему Сегё в форме И. А. Ибрагимова. Для детерминантного процесса с ядром Бесселя точные оценки недавно получил С. М. Горбунов [3].

[1] R. A. Fisher. Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population. Biometrika, 10:4 (1915), 507–521.

[2] F. J. Dyson. Statistical Theory of the Energy Levels of Complex Systems. I. J. Math. Phys., 3:1 (1962), 140–156.

[3] S. M. Gorbunov. Speed of convergence in the Central Limit Theorem for the determinantal point process with the Bessel kernel. Preprint arXiv:2403.16219 (2024), 24 pp.

В 1934 году Х. Уитни поставил следующую задачу. Пусть m, n ∈ N, а S ⊂ R^n — непустое замкнутое множество. Для заданной функции f : S → R требуется найти условия, необходимые и достаточные для существования функции F ∈ C^m(R^n), являющейся продолжением f, т.е. F|_S = f. В полной общности эта проблема была решена
Ч. Фефферманом в середине 2000-ых. Большой интерес представляет аналогичная задача, сформулированная в контексте пространств Соболева W^m_p (R^n), p ∈ [1,∞]. Такая задача ещё очень далека от своего окончательного решения. На данный момент окончательные ответы получены лишь в случае m = 1, p > n в работах П. Шварцмана. Некоторые результаты при p > n и m ∈ N получены в работах Ч. Феффермана и его учеников. Также в последние два года Ч. Фефферманом и его учениками предпринимаются попытки продвижения в случае
m = n = 2 и p > 1, однако и здесь ситуация далека от своего окончательного решения. Основной фокус доклада — случай m = 1, n ≥ 2 и p ∈ (1, n]. В таком диапазоне параметров ранее задача рассматривалась лишь для регулярных по Альфорсу — Давиду множеств S ⊂ R^n . Недавно удалось получить окончательные ответы для существенно более широкого класса <<толстых>> множеств, введённого В. Рычковым. Более того, в контексте абстрактных метрических пространств с мерой удаётся получить естественное обобщение как этих результатов, так и некоторых результатов П. Шварцмана, относящихся к случаю m = 1 и p ∈ (n, ∞). Наконец, если множество
S ⊂ R^n не удовлетворяет каким-либо дополнительным условиям регулярности, то удаётся получить почти точное описание следа пространств Соболева на S.

Доклад посвящен проблеме нахождения инвариантных многообразий для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Будет дано детальное описание метода, позволяющего находить все инвариантные алгебраические многообразия для широких классов полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Планируется рассмотреть приложения теории инвариантных многообразий при исследовании интегрируемости и разрешимости дифференциальных систем. В частности, будет рассматриваться вопрос построения первых интегралов, принадлежащих расширению Лиувилля поля рациональных функций. В качестве иллюстрации будет представлено решение проблемы интегрируемости по Лиувиллю для полиномиальных систем Льенара.

В докладе рассматривается задача Коши для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с разностным ядром. При численной аппроксимации задачи на определенном временном слое свойства памяти требуют учета решения во всех предыдущих временных слоях. Это делает численное решение таких задач достаточно ресурсоемкими даже в одномерном случае, а при переходе к двух- или трехмерным задачам вычислительные затраты значительно увеличиваются. С помощью аппроксимации разностного ядра суммой экспонент исходная нелокальная задача сводится к системе локальных задач, что позволяет строить численные методы с минимальным учетом памяти. Для локальных задач хорошо изучены неявные разностные схемы. Построение явных разностных схем второго порядка аппроксимации требует введения дополнительной сетки связанной с исходной. Получены критерии устойчивости построенных явных разностных схем. Предложенные методы могут применяться для численного решения диффузионно-волновых уравнений дробного порядка по времени. Так же будут обсуждаться некоторые открытые вопросы и перспективы дальнейших исследований в данной области.

Аттрактор Лоренца является первым примером негрубого, но при этом робастного хаотического поведения. Его негрубость обусловлена тем, что при малых возмущениях в нем возникают бифуркации гомоклинических траекторий к седловому состоянию равновесия. Робастность аттрактора Лоренца заключается в том, что любая его траектория характеризуется положительным максимальным показателем Ляпунова, и это свойство сохраняется при малых возмущениях. В работе [1] выдвинута гипотеза о том, что робастность хаотического аттрактора эквивалентна его псевдогиперболичности. Из этого следует, что установив псевдогиперболичность аттрактора, исследователь может быть уверен, что наблюдаемый в эксперименте динамический режим действительно является хаотическим.

В наших недавних работах были разработаны методы проверки псевдогиперболичности, а также обнаружен ряд новых негрубых псевдогиперболических аттракторов лоренцевского типа. В докладе будут представлены недавние результаты по данной тематике.

Работа подготовлена в рамках Программы фундаментальных исследований Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

[1] Gonchenko S., Kazakov A., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractor in a four-dimensional Lorenz system, Nonlinearity. – 2021. – Т. 34. – No. 4. – С. 2018.

Итерация (звёздочка) Клини — это одна из наиболее интересных алгебраических операций, встречающихся в теоретической информатике. Исследования структур с этой операцией — алгебр Клини и их расширений — начинаются с классического понятия регулярных выражений, задающих формальные языки. Впоследствии были введены так называемые алгебры действий (Пратт 1991, Козен 1994), или алгебры Клини с делениями. В этих структурах звёздочка Клини сочетается с делениями, согласованными с частичным порядком (такие операции были введены ранее в работе Крулля, 1924). Доклад посвящён вопросам алгоритмической сложности логических теорий структур со звёздочкой Клини. Несмотря на то, что простейшая из таких теорий, теория равенства регулярных выражений, алгоритмически разрешима, её обобщения, такие как хорновы теории и их фрагменты, а также теории с делениями, практически сразу становятся неразрешимыми. Особенно интересен здесь случай
∗-непрерывных алгебр Клини, где итерация задаётся как предел степеней элемента (в общем случае итерация определяется как неподвижная точка). На логическом языке ∗-непрерывность соответствует ω-правилу, и сложность таких теорий может достигать уровня Π^1_1 -полноты.

В докладе будет дан обзор результатов об алгоритмической сложности теорий — эквациональных, хорновых, первопорядковых — для алгебр Клини и алгебр действий, в общем и ∗-непрерывном случаях. Будет рассказано как о давно известных, так и о новых результатах в этой области, в том числе полученных докладчиком.

[1] W. Buszkowski, E. Palka, Infinitary action logic: complexity, models and grammars, Studia Logica, 89 (2008), 1–18.

[2] S. C. Kleene, Representation of events in nerve nets and finite automata, in: Automata Studies, Princeton Univ. Press, 1956, pp. 3–41.

[3] D. Kozen, On action algebras, in: Logic and Information Flow, MIT Press, 1994, pp. 78– 88.

[4] D. Kozen, On the complexity of reasoning in Kleene algebra, Inform. Comput., 179 (2002), 152–162.

[5] S. Kuznetsov, Action logic is undeciable, ACM Trans. Comput. Logic, 22:2 (2021), art. 10.

[6] S. L. Kuznetsov, S. O. Speranski, Infinitary action logic with exponentiation, Ann. Pure Appl. Logic, 173:2 (2022), art. 103057.

[7] С. Л. Кузнецов, Алгоритмическая сложность теорий коммутативных алгебр Клини, Изв. РАН. Сер. матем., 88:2 (2024), 44–79.

В рамках доклада будут представлены результаты по развитию теории минимаксных и вязкостных (обобщенных) решений для наследственных уравнений Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными над пространством непрерывных функций. Уравнения такого типа возникают в задачах динамической оптимизации систем с запаздыванием [1, 2]. Основной результат [3] состоит в доказательстве эквивалентности определений минимаксного решения (в форме пары неравенств для нижних и верхних производных по многозначным направлениям) и вязкостного решения (в форме пары неравенств для коинвариантных суб- и суперградиентов). Одним из следствий этого результата является теорема о единственности вязкостного решения задачи Коши для рассматриваемого класса уравнений Гамильтона — Якоби. Ключевую роль в доказательстве играет специальное свойство коинвариантного субдифференциала, обоснование которого в свою очередь потребовало развития техники, восходящей к доказательствам многомерных негладких обобщений формулы конечных приращений [4, 5] и использующей подходящие гладкие вариационные принципы [6].

[1] Н. Ю. Лукоянов, Функциональные уравнения Гамильтона — Якоби и задачи управления с наследственной информацией, УрФУ, Екатеринбург, 2011.

[2] М. И. Гомоюнов, Н. Ю. Лукоянов, Минимаксные решения уравнений Гамильтона — Якоби в задачах динамической оптимизации наследственных систем, Успехи математических наук, 79:2(476) (2024), 43–144.

[3] M. I. Gomoyunov, A. R. Plaksin, Equivalence of minimax and viscosity solutions of path-dependent Hamilton — Jacobi equations, Journal of Functional Analysis, 285:11 (2023), 110155, 41 pp.

[4] А. И. Субботин, Об одном свойстве субдифференциала, Математический сборник, 182:9 (1991), 1315–1330.

[5] F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, Mean value inequalities in Hilbert space, Transactions of the American Mathematical Society, 344:1 (1994), 307–324.

[6] J. M. Borwein, Q. J. Zhu, Techniques of variational analysis, Springer, 2005.

Бурное развитие малых космических аппаратов привело к возникновению новых задач в области определения углового движения в одиночных миссиях и определения относительного поступательного движения в миссиях группового полёта. В настоящей работе предложена аналитическая методика исследования точностных характеристик алгоритмов определения движения на основе расширенного фильтра Калмана для космических аппаратов с активной системой управления ориентации и набором бортовых измерительных средств. Результаты аналитического исследования сравниваются с результатами математического моделирования работы алгоритмов и с результатами лабораторных исследований характеристик алгоритмов на стендах полунатурного моделирования движения макетов малых спутников с аэродинамическим подвесом, позволяющим имитировать условия орбитального полёта. Разработанные алгоритмы определения движения были реализованы на более 30-ти отечественных малых космических аппаратах, лётные испытания показали адекватность полученных аналитических оценок и надёжность предложенных алгоритмов для решения поставленных задач.

Часто важные (и функториальные) инварианты определяются или вычисляются при помощи неканонических конструкций.
Производные функторы вычисляются при помощи проективных и инъективных резольвент (модулей, объектов и комплексов); (ко)гомологии многообразий — при помощи разбиений на симплексы; (ко)гомологии спектров — при помощи клеточных фильтрации. Смешанные структуры Ходжа для когомологий непроективного (или негладкого) комплексного многообразия определяются при помощи хороших компактификаций (соотв., гладких гиперпокрытий). При этом, две разных резольвенты можно соединить морфизмом; для компактификаций получается только выбрать третью, <<мажорирующую>> первые две.
Иногда получается <<вложить исходные объекты>> в триангулированную категорию C и связать искомый <<инвариант>> со срезками, соответствующими весовым структурам. Хоть весовые срезки и не каноничны, они позволяют строить канонические инварианты. В частности, при некоторых условиях (выполненных, например, для производных категорий регулярных собственных схем) весовые структуры позволяют строить t-структуры, срезки по которым (всегда) каноничны.

В алгебрах Стинрода A_p стабильных когомологических операций mod p имеются сложные соотношения между мультипликативными образующими — соотношения Адема. В докладе пойдет речь о наборах элементов, образующих аддитивные базисы алгебр Стинрода.

Для произвольного простого p хорошо известны базис Милнора и базис допустимых мономов. Кроме того, имеются элементы P_t^s , из которых тоже можно сформировать серии аддитивных базисов. Для p = 2 довольно давно были известны базисы, открытые Уоллом, Арноном, Вудом и др., они нашли приложения в исследовании действий алгебры A₂. Нам удалось получить аналоги этих результатов, а в некоторых случаях — более сильные утверждения, для алгебр A_p, где p > 2.

В докладе обсуждается устойчивая консервативная конечно-объемная технология для совместного суперкомпьютерного моделирования нескольких физических процессов на динамических адаптивных подвижных сетках общего вида.

Предложенные численные методы отличаются устойчивостью как для задач с преобладающей конвективной составляющей, так и для задач седлового типа, формирующихся в процессе совместного решения нескольких физических процессов [1, 3 — 10]. Численные методы применены к задачам разной физики, таких как линейная упругость и пороупругость [4, 7, 8], течение несжимаемой жидкости [5], механика жестких тел [1], многофазная фильтрация [1, 10], взаимодействие электромагнитных полей [1], течение и свертываемость крови [3], а также взаимодействие областей с разными физическими законами [6].

Предложены два подхода решения возникающих систем. Первый подход основан на многоуровневой неполной факторизации второго порядка с переупорядочиванием и масштабированием [10], второй подход основан на блочном алгебраическом многосеточном методе [2]. Алгебраический многосеточный метод на практике показывают линейную зависимость сложности решения от размера задачи, в том числе для систем седлового характера.

Одной из особенностью вычислительной технологии заключается в возможности динамической адаптации расчетных сеток общего вида в параллельном режиме. Динамическая адаптация включает как измельчение и разгрубление многогранных ячеек, так и перемещение узлов сетки в пространстве. Для работы с подвижными сетками был предложен консервативный четырехмерный вариант метода конечных объемов [3]. Динамическая адаптация расчетной сетки позволяет как моделировать процессы в подвижных областях, так и повышать точность расчета при экономии вычислительных ресурсов.

Ряд суперкомпьютерных технологий, образующих основу реализации численных методов, внедрены в открытой программной платформе INMOST (www.inmost.org, www.inmost.ru) для распределенного параллельного математического моделирования [10].

[1] K. M. Terekhov. General finite-volume framework for saddle-point problems of various physics, Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling 36 (6), 359–379, (2021)

[2] I. N. Konshin, K. M. Terekhov. Block Algebraic Multigrid Method for Saddle-Point Problems of Various Physics, Supercomputing: 9th Russian Supercomputing Days, Springer, 17–34, (2023)

[3] K. M. Terekhov, I. D. Butakov, A. A. Danilov, Yu. V. Vassilevski. Dynamic adaptive moving mesh finite‐volume method for the blood flow and coagulation modeling, International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, e3731, (2023)

[4] K. M. Terekhov, Yu. V. Vassilevski. Finite volume method for coupled subsurface flow problems, II: Poroelasticity, Journal of Computational Physics 462, 111225, (2022)

[5] K. M. Terekhov. Collocated finite-volume method for the incompressible Navier — Stokes problem, Journal of Numerical Mathematics 29 (1), 63–79, (2021)

[6] K. M. Terekhov. Multi-physics flux coupling for hydraulic fracturing modelling within INMOST platform, Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling 35 (4), 223–237, (2020)

[7] K. M. Terekhov. Cell-centered finite-volume method for heterogeneous anisotropic poromechanics problem, Journal of Computational and Applied Mathematics 365, 112357, (2020)

[8] K. M. Terekhov, H. A. Tchelepi. Cell-centered finite-volume method for elastic deformation of heterogeneous media with full-tensor properties, Journal of Computational and Applied Mathematics 364, 112331, (2020)

[9] K. M. Terekhov, Yu. V. Vassilevski. Finite volume method for coupled subsurface flow problems, I: Darcy problem, Journal of Computational Physics 395, 298–306, (2019)

[10] Yu. Vassilevski, K. Terekhov, K. Nikitin, I. Kapyrin. Parallel finite volume computation on general meshes, Springer International Publishing, (2020)

Математические вопросы, возникающие при изучении гидродинамики, являются актуальной и быстро развивающейся областью исследований последние сто пятьдесят лет. При этом основное внимание математиков было уделено системе уравнений Эйлера, описывающей движение идеальной среды, и системе уравнений
Навье — Стокса, описывающей движение вязкой ньютоновской жидкости. Однако было замечено, что многие реальные среды (например, полимерные растворы, суспензии и др.) не подчиняются моделям классической гидродинамики. Такие модели называются <<неньютоновскими средами>>. Данный доклад посвящен математическому исследованию начально-краевых задач для одного класса моделей неньютоновской гидродинамики, а именно, моделей движения вязкоупругих сред. Такие среды, как следует из названия, сочетают в себе свойства вязкости и упругости.

При изучение большого класса полимеров, в которых необходимо учитывать эффекты ползучести и релаксации, в последние годы появились математические модели с дробными производными. В силу своей сложности математические постановки задач для таких моделей неньютоновской гидродинамики на сегодняшний день не столь подробно изучены и существующие математические методы зачастую оказываются не столь эффективными для них. Именно о слабой разрешимости для таких моделей в докладе пойдет речь.

[1] А. В. Звягин, О слабой разрешимости и сходимости решений дробной альфа-модели Фойгта движения вязкоупругой среды, Успехи математических наук, 74:3 (2019), 189–190.

[2] А. В. Звягин, Исследование слабой разрешимости дробной альфа-модели Фойгта, Известия Академии Наук. Серия математическая, 85:1 (2021), 66–97.

[3] А. В. Звягин, О существовании слабых решений дробной модели Кельвина — Фойгта, Математические заметки, 116:1 (2024), 152–157.

Конечная группа G называется почти простой, если она удовлетворяет условию S ≤ G ≤ Aut S для некоторой конечной неабелевой простой группы S; при этом S является цоколем группы G. Многие вопросы теории конечных групп сводятся не к простым, а к почти простым группам, поскольку важна информация не только о том, каковы композиционные факторы данной конечной группы, но и каково действие группы на этих композиционных факторах.

Доклад посвящен задаче вычисления множеств порядков элементов конечных почти простых групп. Эта задача легко решается для групп со знакопеременным цоколем и давно решена для групп со спорадическим цоколем, поэтому речь пойдет о группах с цоколем лиева типа и, как легко понять, можно ограничиться группами вида
⟨S, α⟩, где α ∈ Aut S.

Будет дан обзор известных результатов, в том числе, будет рассказано, как были найдены множества порядков элементов самих простых групп лиева типа и как случай внешнего автоморфизма α был сведен к случаю, когда
α — диагонально-графовый автоморфизм. Также будут представлены недавние результаты о диагонально-графовых автоморфизмах.

Рассматривается распространение волн по неоднородной полубесконечной струне общего вида. В терминах динамики волн описывается условие Крейна — Винера конечности логарифмического интеграла спектральной функции струны:

∫_0,∞ ( log v_ac (λ) ) / (√λ (1 + λ) ) dλ > - _∞

Указанное условие играет ключевую роль в спектральной теории стационарных гауссовских процессов. Оказывается, что оно равносильно наличию <<асимптотически бегущих>> волн, распространяющихся по струне. Помимо динамического описания струн Крейна — Винера, приводится их полное описание в терминах функций плотности. В частности, струны, составленные из участков двух разных материалов принадлежат классу
Крейна — Винера тогда и только тогда, когда общая длина одного из материалов конечна. Задача о распространении волн на неоднородной струне допускает интерпретацию в теории рассеяния. Доказывается, что условие Крейна — Винера равносильно существованию и полноте модифицированных волновых операторов для рассматриваемой струны на фоне однородной струны.

Доклад содержит результаты цикла работ автора и С. А. Денисова (University of Wisconsin — Madyson).